音乐与数学----泛音的前世今生

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本帖最后由 bewarm 于 2012-10-5 11:25 编辑

警告:前方高能.有数学恐惧症者退散

然后耐心等待公式载入完毕

如果你喜欢撸弦乐器,泛音这玩意儿一定不陌生吧.
可是很多人都只知道如何操作,却不太明白为啥要按那个地方,还要虚按.
我们以吉他为例来说说这个问题.
吉他从本质上来讲就是六根两端固定的弹性弦
我们取其中一根来研究.
当然我们需要用拨片拨一下才会有声音(玩指弹的不要吐槽我!
于是吉他的状态就变成了这样(当然没有图示的这么夸张,这样弦早就断了,就算25一套的达达里奥你也伤不起啊

数学化的描述就是:
设弦的振幅为 $u(x,t)$ ,于是初始状态为
$u(x,0)=\\begin{cases}\\frac{h}{x_0}x & 0<x<x_0 \\\\\\frac{h}{l-x_0}(l-x) & x_0<x<l\\end{cases}$
拨片松开之后弦就开始振动了,注意这时,弦已经不是像初始状态那样的线性分布了.

所以需要取一小段微元做受力分析,以为可以看成是直线的存在.
这段弦原长 $\\Delta x$ ,拨动后左端偏移了 $u$ ,右端偏移了 $u+\\Delta u$

这段弦两端受到拉力 $\\mathbf{T}(x)$ 和 $\\mathbf{T}(x+\\Delta x)$ ,产生了加速度 $\\mathbf{a}$
根据牛顿第二定律有
$\\mathbf{T}(x+\\Delta x)-\\mathbf{T}(x)=\\int_x^{x+\\Delta x}\\rho(x)\\mathbf{a}dx$

其中 $\\rho$ 是弦的密度,至于右边的那个积分其实就是简单的质量乘以加速度

拉力和加速度都是矢量,不过加速度可以看成只有 $u$ 方向的分量
至于两个拉力,就没有这么幸运了,不过他们也有可以化简的关系
因为拉力是在端点切线方向,于是可以做分解而两个方向的比值正好是切线的斜率
于是可以得到两个分力的关系:
$T_u^2(x)+T_x^2(x)=|\\mathbf{T}(x)|^2$

$T_u(x)=T_x(x)\\frac{du}{dx}$
所以有
$T_u(x)=|\\mathbf{T}(x)|\\frac{du}{dx}/\\sqrt{(\\frac{du}{dx})^2+1$

因为 $\\frac{du}{dx}$ 很小,所以分母直接看成1,于是得到
$T_u(x)\\doteq|\\mathbf{T}(x)|\\frac{du}{dx}$

$T_x(x)\\doteq|\\mathbf{T}(x)|$ (近似等.....干脆就等于得了
对于加速度也可以同样处理,得到
$a_u\\doteq|\\mathbf{a}|\\frac{du}{dx}$
对上面的方程写成分量方程
$T_u(x+\\Delta x)-T_u(x)=\\int_x^{x+\\Delta x}\\rho(x)a_udx$ (*)
$T_x(x+\\Delta x)-T_x(x)=\\int_x^{x+\\Delta x}\\rho(x)a_xdx$
实际上在 $x$ 方向上,基本上没有加速度(很显然嘛,想想弦振动的方向
所以 $x$ 方向上的力是相等的,:
$T_x(x+\\Delta x)=T_x(x)$

所以我们只须考虑 $u$ 方向的情况,把方程(*)的左端变成一个积分:
$\\int_x^{x+\\Delta x}\\frac{dT_u}{dx}dx=\\int_x^{x+\\Delta x}\\rho(x)a_udx$

带入 $T_x$
$\\int_x^{x+\\Delta x}\\frac{d}{dx}(T_x\\frac{du}{dx})dx=\\int_x^{x+\\Delta x}\\rho(x)a_udx$
记 $T_x$ 为常量 $T$ ,
这样应该没问题吧... $T\\doteq|\\mathbf{T}(x)|$

$\\int_x^{x+\\Delta x}\\frac{d}{dx}(T\\frac{du}{dx})dx=\\int_x^{x+\\Delta x}\\rho(x)a_udx$
两边求导
$\\frac{d}{dx}(T\\frac{du}{dx})dx=\\rho(x)a_udx$
整理下
$\\frac{T}{\\rho(x)}\\frac{d^2u}{dx^2}=a_u$
因为加速度是位移的二阶导数

$a_u=\\frac{d^2u}{dt^2}$
于是方程变成了
$\\frac{T}{\\rho(x)}\\frac{d^2u}{dx^2}=\\frac{d^2u}{dt^2}$
吉他的弦粗细目测是均匀的,所以密度应该是个常数,记为 $\\rho$ ,弦的振动方程就出来了
$\\frac{T}{\\rho}\\frac{d^2u}{dx^2}=\\frac{d^2u}{dt^2}$
加上边界条件:
$u(0,t)=0,\\,u(l,t)=0$
再加上初始条件:

$u(x,0)=\\begin{cases}\\frac{h}{x_0}x & 0<x<x_0 \\\\\\frac{h}{l-x_0}(l-x) & x_0<x<l\\end{cases}$
$\\frac{du}{dt}\\mid_{t=0}$
好吧,解吧.
用分离变量法来解这个方程(本来打算写的,实在写不动了..此处略去1000行,有兴趣的去找本数学物理方程看.(喂喂,你们根本都知道怎么解的吧!
得到方程的解

$u(x,t)=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{2}{l}\\int_0^lu(\\xi,0)\\sin\\frac{n\\pi \\xi}{l}d\\xi\\cdot\\cos\\sqrt{\\frac{T}{\\rho}}\\frac{n\\pi t}{l}\\sin\\frac{n\\pi x}{l}$ (为啥钻出个 $\\xi$ ?因为要和 $x$ 区别,实际上还是 $x$ ,只是含 $x$ 的项不能写进积分里喵.前面那坨积分是个定积分,是个常数,于是邪恶的用常数 $C_n$ 代替
$u(x,t)=\\sum_{n=1}^{\\infty}C_n\\cos\\sqrt{\\frac{T}{\\rho}}\\frac{n\\pi t}{l}\\sin\\frac{n\\pi x}{l}$

这是个什么玩意儿?
这个玩意儿就是N个驻波的叠加

(图片来自维基overtone

比如当 $n=1$ 时这个驻波是
$C_1\\cos\\sqrt{\\frac{T}{\\rho}}\\frac{\\pi t}{l}\\sin\\frac{\\pi x}{l}$

其中 $C_1\\sin\\frac{\\pi x}{l}$ 为驻波项,是我们眼睛可能能看见的,空间上的波动
$C_1$ 是眼睛能看到弦的最大振幅,也代表的声音的强度(其实很难看到,当然你使劲儿拨会看得比较清楚些
$l$ 是眼睛看见弦振动的驻波波长
$\\cos\\sqrt{\\frac{T}{\\rho}}\\frac{\\pi t}{l}$ 为音频项,是耳朵听见的声音,

声音频率(音调)是 $\\sqrt{\\frac{T}{\\rho}}\\frac{\\pi }{l}$
那么泛音是什么呢?其实当[img][/img]1" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?n%3E1">时,后面的声音都是泛音
$n=2$ 时声音频率是 $2\\sqrt{\\frac{T}{\\rho}}\\frac{\\pi }{l}$ ,这就是第一泛音
$n=3$ 时的声音就是第二泛音,以此类推.
细心的同学一定发现了方程的解其实是所有泛音的叠加,
但是平时只能听到第零泛音(有这种说法么?就是拨弦听到的声音.
这是因为[img][/img]C_2>C_3..." src="http://www.codecogs.com/gif.latex?C_1%3EC_2%3EC_3...">

第零泛音的声音比第一第二第n泛音的声音都大,把他们都盖住了.
所以要弹第一泛音,就要减少振幅 $C_1$ 同时尽量保持振幅 $C_2$
参考上面的驻波图,弹第一泛音就需要在弦的二分之一处制音以压制 $C_1$ 保持 $C_2$
第二泛音在弦四分之一处制音,压制 $C_1$ 和 $C_2$ 保持 $C_3$
更高的泛音就很难控制了,因为它们的振幅实在太小,很难再把低频的音给制住
如果有蛋疼的人可以把 $C_n$ 积分出来,然后画个图,看看各个泛音能有多大.
我比较懒,就猜猜,应该比较接近一个伽玛分布吧(揍

参考文献:
谁便找一本<数学物理方程>
<小林克己初级>

维基百科(还去查了分部积分,太丢脸了...

感谢你看完