音乐与数学----泛音的前世今生
本帖最后由 bewarm 于 2012-10-5 11:25 编辑警告:前方高能.有数学恐惧症者退散
然后耐心等待公式载入完毕
如果你喜欢撸弦乐器,泛音这玩意儿一定不陌生吧.
可是很多人都只知道如何操作,却不太明白为啥要按那个地方,还要虚按.
我们以吉他为例来说说这个问题.
吉他从本质上来讲就是六根两端固定的弹性弦
我们取其中一根来研究.
当然我们需要用拨片拨一下才会有声音(玩指弹的不要吐槽我!
于是吉他的状态就变成了这样(当然没有图示的这么夸张,这样弦早就断了,就算25一套的达达里奥你也伤不起啊
http://i.imgur.com/QlREr.jpg
数学化的描述就是:
设弦的振幅为http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,t),于是初始状态为
http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,0)=\begin{cases}\frac{h}{x_0}x%20&%200%3Cx%3Cx_0%20\\\frac{h}{l-x_0}(l-x)%20&%20x_0%3Cx%3Cl\end{cases}
拨片松开之后弦就开始振动了,注意这时,弦已经不是像初始状态那样的线性分布了.
所以需要取一小段微元做受力分析,以为可以看成是直线的存在.
这段弦原长http://www.codecogs.com/gif.latex?\Delta%20x,拨动后左端偏移了http://www.codecogs.com/gif.latex?u,右端偏移了http://www.codecogs.com/gif.latex?u+\Delta%20u
http://i.imgur.com/f5rEs.jpg
这段弦两端受到拉力http://www.codecogs.com/gif.latex?\mathbf{T}(x)和http://www.codecogs.com/gif.latex?\mathbf{T}(x+\Delta%20x),产生了加速度http://www.codecogs.com/gif.latex?\mathbf{a}
根据牛顿第二定律有
http://www.codecogs.com/gif.latex?\mathbf{T}(x+\Delta%C2%A0x)-\mathbf{T}(x)=\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\rho(x)\mathbf{a}dx
其中http://www.codecogs.com/gif.latex?\rho是弦的密度,至于右边的那个积分其实就是简单的质量乘以加速度
拉力和加速度都是矢量,不过加速度可以看成只有http://www.codecogs.com/gif.latex?u方向的分量
至于两个拉力,就没有这么幸运了,不过他们也有可以化简的关系
因为拉力是在端点切线方向,于是可以做分解而两个方向的比值正好是切线的斜率
于是可以得到两个分力的关系:
http://www.codecogs.com/gif.latex?T_u^2(x)+T_x^2(x)=|\mathbf{T}(x)|^2
http://www.codecogs.com/gif.latex?T_u(x)=T_x(x)\frac{du}{dx}
所以有
http://www.codecogs.com/gif.latex?T_u(x)=|\mathbf{T}(x)|\frac{du}{dx}/\sqrt{(\frac{du}{dx})^2+1
因为http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{du}{dx}很小,所以分母直接看成1,于是得到
http://www.codecogs.com/gif.latex?T_u(x)\doteq|\mathbf{T}(x)|\frac{du}{dx}
http://www.codecogs.com/gif.latex?T_x(x)\doteq|\mathbf{T}(x)|(近似等.....干脆就等于得了
对于加速度也可以同样处理,得到
http://www.codecogs.com/gif.latex?a_u\doteq|\mathbf{a}|\frac{du}{dx}
对上面的方程写成分量方程
http://www.codecogs.com/gif.latex?T_u(x+\Delta%C2%A0x)-T_u(x)=\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\rho(x)a_udx(*)
http://www.codecogs.com/gif.latex?T_x(x+\Delta%C2%A0x)-T_x(x)=\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\rho(x)a_xdx
实际上在http://www.codecogs.com/gif.latex?x方向上,基本上没有加速度(很显然嘛,想想弦振动的方向
所以http://www.codecogs.com/gif.latex?x方向上的力是相等的,:
http://www.codecogs.com/gif.latex?T_x(x+\Delta%C2%A0x)=T_x(x)
所以我们只须考虑http://www.codecogs.com/gif.latex?u方向的情况,把方程(*)的左端变成一个积分:
http://www.codecogs.com/gif.latex?\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\frac{dT_u}{dx}dx=\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\rho(x)a_udx
带入http://www.codecogs.com/gif.latex?T_x
http://www.codecogs.com/gif.latex?\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\frac{d}{dx}(T_x\frac{du}{dx})dx=\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\rho(x)a_udx
记http://www.codecogs.com/gif.latex?T_x为常量http://www.codecogs.com/gif.latex?T,
这样应该没问题吧...http://www.codecogs.com/gif.latex?T\doteq|\mathbf{T}(x)|
http://www.codecogs.com/gif.latex?\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\frac{d}{dx}(T\frac{du}{dx})dx=\int_x^{x+\Delta%C2%A0x}\rho(x)a_udx
两边求导
http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{d}{dx}(T\frac{du}{dx})dx=\rho(x)a_udx
整理下
http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{T}{\rho(x)}\frac{d^2u}{dx^2}=a_u
因为加速度是位移的二阶导数
http://www.codecogs.com/gif.latex?a_u=\frac{d^2u}{dt^2}
于是方程变成了
http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{T}{\rho(x)}\frac{d^2u}{dx^2}=\frac{d^2u}{dt^2}
吉他的弦粗细目测是均匀的,所以密度应该是个常数,记为http://www.codecogs.com/gif.latex?\rho,弦的振动方程就出来了
http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{T}{\rho}\frac{d^2u}{dx^2}=\frac{d^2u}{dt^2}
加上边界条件:
http://www.codecogs.com/gif.latex?u(0,t)=0,\,u(l,t)=0
再加上初始条件:
http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,0)=\begin{cases}\frac{h}{x_0}x%20&%200%3Cx%3Cx_0%20\\\frac{h}{l-x_0}(l-x)%20&%20x_0%3Cx%3Cl\end{cases}
http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{du}{dt}\mid_{t=0}
好吧,解吧.
用分离变量法来解这个方程(本来打算写的,实在写不动了..此处略去1000行,有兴趣的去找本数学物理方程看.(喂喂,你们根本都知道怎么解的吧!
得到方程的解
http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{l}\int_0^lu(\xi,0)\sin\frac{n\pi%C2%A0\xi}{l}d\xi\cdot\cos\sqrt{\frac{T}{\rho}}\frac{n\pi%C2%A0t}{l}\sin\frac{n\pi%C2%A0x}{l}(为啥钻出个http://www.codecogs.com/gif.latex?\xi?因为要和http://www.codecogs.com/gif.latex?x区别,实际上还是http://www.codecogs.com/gif.latex?x,只是含http://www.codecogs.com/gif.latex?x的项不能写进积分里喵.前面那坨积分是个定积分,是个常数,于是邪恶的用常数http://www.codecogs.com/gif.latex?C_n代替
http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\cos\sqrt{\frac{T}{\rho}}\frac{n\pi%C2%A0t}{l}\sin\frac{n\pi%C2%A0x}{l}
这是个什么玩意儿?
这个玩意儿就是N个驻波的叠加
http://i.imgur.com/u5qYX.png(图片来自维基overtone
比如当http://www.codecogs.com/gif.latex?n=1时这个驻波是
http://www.codecogs.com/gif.latex?C_1\cos\sqrt{\frac{T}{\rho}}\frac{\pi%C2%A0t}{l}\sin\frac{\pi%C2%A0x}{l}
其中http://www.codecogs.com/gif.latex?C_1\sin\frac{\pi%C2%A0x}{l}为驻波项,是我们眼睛可能能看见的,空间上的波动
http://www.codecogs.com/gif.latex?C_1是眼睛能看到弦的最大振幅,也代表的声音的强度(其实很难看到,当然你使劲儿拨会看得比较清楚些
http://www.codecogs.com/gif.latex?l是眼睛看见弦振动的驻波波长
http://www.codecogs.com/gif.latex?\cos\sqrt{\frac{T}{\rho}}\frac{\pi%C2%A0t}{l}为音频项,是耳朵听见的声音,
声音频率(音调)是http://www.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{\frac{T}{\rho}}\frac{\pi%C2%A0}{l}
那么泛音是什么呢?其实当1" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?n%3E1">时,后面的声音都是泛音
http://www.codecogs.com/gif.latex?n=2时声音频率是http://www.codecogs.com/gif.latex?2\sqrt{\frac{T}{\rho}}\frac{\pi%C2%A0}{l},这就是第一泛音
http://www.codecogs.com/gif.latex?n=3时的声音就是第二泛音,以此类推.
细心的同学一定发现了方程的解其实是所有泛音的叠加,
但是平时只能听到第零泛音(有这种说法么?就是拨弦听到的声音.
这是因为C_2>C_3..." src="http://www.codecogs.com/gif.latex?C_1%3EC_2%3EC_3...">
第零泛音的声音比第一第二第n泛音的声音都大,把他们都盖住了.
所以要弹第一泛音,就要减少振幅http://www.codecogs.com/gif.latex?C_1同时尽量保持振幅http://www.codecogs.com/gif.latex?C_2
参考上面的驻波图,弹第一泛音就需要在弦的二分之一处制音以压制http://www.codecogs.com/gif.latex?C_1保持http://www.codecogs.com/gif.latex?C_2
第二泛音在弦四分之一处制音,压制http://www.codecogs.com/gif.latex?C_1和http://www.codecogs.com/gif.latex?C_2保持http://www.codecogs.com/gif.latex?C_3
更高的泛音就很难控制了,因为它们的振幅实在太小,很难再把低频的音给制住
如果有蛋疼的人可以把http://www.codecogs.com/gif.latex?C_n积分出来,然后画个图,看看各个泛音能有多大.
我比较懒,就猜猜,应该比较接近一个伽玛分布吧(揍
参考文献:
谁便找一本<数学物理方程>
<小林克己 初级>
维基百科(还去查了分部积分,太丢脸了...
感谢你看完
喵的....图片悲剧了...
http://i.imgur.com/F7F6Q.jpg
http://i.imgur.com/6AHBL.jpg
http://i.imgur.com/2Mp6o.jpg
http://i.imgur.com/RYq9W.jpg 泥煤啊谁看得懂啊我去！！！！！！！！！！！！！！！！！ 长姿势了数学老师死的早 数学老师死得早= =看不懂弹个泛音关数学毛事{:8_457:} 跪了····{:6_302:} {:6_299:}他喵的以后谁再说学吉他影响学习我跟谁急 {:6_308:}文科生晕了 数学不好的表示头冒烟了。。。{:7_372:} 我正在學這些...